Fourier-Reihen – Darstellung und Anwendung
Sinus- und Kosinusfunktionen wirken wie langweilige Mathematik. Doch wenn man ihre Anwendungsmöglichkeiten tiefgehender betrachtet, lassen sich spannende Zusammenhänge mit technischen und physikalischen Vorgängen erschließen.
Ziel ist es, ein Signal, das keinem mathematischen Prinzip zugrunde liegt, mithilfe von trigonometrischen Funktionen auszudrücken. Um sich diesem anzunähern, liegt es nahe, an einem Beispiel zu arbeiten.
Erarbeitung eines unregelmäßigen Signales
Betrachtet man den Graphen links, scheint dieser zwar regelmäßig, aber nicht Sinusförmig und periodisch.
Man kann sich jedoch langsam annähern.
Hier ist nur eine Sinusfunktion zu sehen.
Hier sind zwei Sinusfunktionen addiert.
Spätestens hier ist deutlich zu erkennen, je mehr Sinusfunktionen man addiert, desto genauer kann die Funktion dargestellt werden.
Hier sind drei Funktionen addiert.
Hier sind fünf Sinusfunktionen addiert.
Hier sind 10 Sinusfunktionen aneinander addiert.
Im Bild sind 50 Sinusfunktionen aneinandergereiht.
Wenn dieses Muster gegen unendlich weiter vorgeht, das heißt man addiere unendlich viele Funktionen, dann erhält man das gesuchte Signal.
Aber was nützt einem das?
Das oben betrachtete Signal war nur ein Beispiel. Es zeigt uns, dass eine Funktion, noch so fern sie von einer Sinusfunktion eigentlich ist, trotzdem mit dieser ausgedrückt werden kann.
Dies lässt sich auch verallgemeinern:
Jedes beliebige Signal, bei dem jedem Wert des Definitionsbereiches (x-Wert) genau ein Wert des Wertebereiches (y-Wert) zugeordnet wird, kann durch Aneinanderreihung von vielen trigonometrischen Funktionen dargestellt werden.*
Anwendungsmöglichkeiten - Ausblick
Dies ermöglicht einem eine Vielzahl an Anwendungsmöglichkeiten in Bereichen der Technik (Signalverarbeitung, Kryptografie), Physik (Akustik, Optik, …), Mathematik (Kombinatorik, Statistik, …), Meereskunde, Wirtschaftswissenschaften und viele mehr.
Betrachtet man das Beispiel der Akustik/ Signalverarbeitung:
Das Konzept der Fourier Reihe ermöglicht beispielsweise eine vereinfachte Darstellung und Speicherung von Ton. Denn nimmt man einen Ton auf, erhält man nicht immer eine schöne Welle, wie zum Beispiel bei einem Klavier. Eine Aufnahme einer Stimme ist sehr unregelmäßig und kann daher durch eine Fourier Reihe vereinfacht und kompakt abgespeichert werden.
Ein Beispiel aus dem Bereich der Technik:
Ein bekanntes Beispiel ist JPEG. Hierzu wird die sogenannte Fourier Transformation angewandt.
Bei weiterem Interesse ist folgende interaktive Website von Jez Swanson zu empfehlen oder aber das Lesen meiner Facharbeit:
*Dabei kann der Definitionsbereich allerdings eingeschränkt sein, ein Signal muss nicht den vollständigen Bereich abdecken, um mit trigonometrischen Funktionen darstellbar zu sein.