Untersuchung fraktaler Kurven und fraktaler Mengen
Mit der Erfindung der Computer wurde auch die Mathematik auf den Kopf gestellt. Eine der ästhetischsten Generationen, für deren Untersuchung und Darstellung Computer unerlässlich sind, sind Fraktale. Fraktale sind geometrische Gebilde, die eine sogenannte Selbstähnlichkeit besitzen. Zoomt man also in so ein Fraktal herein, erkennt man immer wieder die Ausgangsfigur, in die man reingezoomt hat.
Ein berühmtes Beispiel ist das sogenannte Sierpinski-Dreieck, welches bei Vergrößerung immer noch so aussieht wie in folgender Grafik:
Würde man nun dieses Fraktal vergrößern, wird man immer wieder dieselbe Ausgangsfigur erkennen; das ist die zuvor beschriebene Selbstähnlichkeit.
Das Sierpinski-Dreieck ist nur eine der unzähligen fraktalen Kurven, die untersucht und berechnet werden können.
Populär wurden die Fraktale erst durch den französisch-US-Amerikanischen Mathematiker Benoît Mandelbrot. Nach ihm wurde auch die sogenannte Mandelbrot-Menge benannt. Sie ist eine Menge an komplexen Zahlen, die auch nach unendlichen Verkettungen immer noch beschränkt bleiben, sie werden also bei diesem Verketten nicht unendlich groß. Stellt man die Zahlen, für die dies zutrifft, grafisch als Punkt dar und färbt diese nach bestimmten Regeln, entsteht folgende Grafik:
Würde man diese Struktur vergrößern, findet man auch öfters die markante Ausgangsstruktur; sie wird auch als das „Mandelbrot-Männchen“ bezeichnet.
Auch hier erkennt man einen starken ästhetischen Reiz, bei genauerem Hinschauen eventuell sogar Muster, die in der Natur vorkommen. Befasst man sich mit dieser Fraktalen Geometrie, kommt man nicht an der sogenannten Chaostheorie vorbei. Die Chaostheoretiker befassen sich mit der Suche der „Ordnung im Chaos“, beispielsweise in dem scheinbar willkürlichen Wetter. Jedoch erkennt man bei genauem Betrachten fraktale Strukturen, beispielsweise die Wolken oder Turbulenzen, die sich auf immer kleiner und feiner werdenden Maßstäben selbstähnlich sind. Auch bestimmte Prozesse wie die Populationsentwicklung oder sogar der Finanzmarkt sind fraktal, solche nützen also auch bei bestimmten Prognosen und zuvor für unmöglich gehaltene weitere Methoden.
Man kann auch selber die spannende Welt der Fraktale entdecken, beispielsweise mit diesem Programm: http://weitz.de/mandelbrot/
Link zur Facharbeit: https://sf48.ueg-leer.de/wp-content/uploads/2023/06/sf48_My_Koenen_Arne.pdf
Präsentation: https://sf48.ueg-leer.de/wp-content/uploads/2023/12/Praesentation_Arne_Koenen.pdf