Taylor-Reihen – eine Untersuchung
Die Taylor-Reihe ist eine der wichtigsten Methoden zur Approximation von Funktionen in der Mathematik. Sie ermöglicht es uns, komplexe Funktionen in einfacheren Formen darzustellen und ihre Werte an bestimmten Punkten zu berechnen. Die Idee hinter der Taylor-Reihe besteht darin, eine Funktion um einen gegebenen Entwicklungspunkt herum durch ein Polynom einer Potenzreihe zu approximieren, mit der das Rechnen deutlich einfacher wird. Ein Polynom 3. Grades eines Potenzreihe sieht zum Beispiel so aus:
P(x) = c_0 +c_1x + c_2x^2
Das Ziel ist es nun, die Koeffizienten eines solchen Polynoms so anzupassen, dass das Polynom danach die Ausgangsfunktion um den Entwicklungspunkt möglichst gut beschreibt. Und hier kommt die Taylorreihe ins Spiel.
Die allgemeine Form der Taylor-Reihe lautet:
Hierbei ist f die zu approximierende Ausgangsfunktion, f(a) ist der Funktionswert an der Stelle a und f'(a), f“(a), f“'(a) usw. sind die Ableitungen der Funktion f an der Stelle a. Genutzt wird dabei der Gedanke, dass das Polynom die Ausgangsfunktion um die Entwicklungsstelle a dann besonders gut beschreibt, wenn die Ableitungen von Polynom und Ausgangsfunktion an diesem Punkt identisch sind. Damit ist die Taylorreihe eigentlich nur eine Anleitung, wie ein Polynom gebastelt werden kann, das ähnliche Eigenschaften an einem Punkt besitzt. Sinnvoll ist dann, einen Punkt auf der Ausgangsfunktion zu wählen, an dem das Ableiten besonders einfach ist.
Die Taylor-Reihe wird oft verwendet, um Funktionen zu approximieren, wenn der genaue Wert schwierig zu berechnen ist, so zum Beispiel auch bei der Funktion unten im Video. Durch die Verwendung einer endlichen Anzahl von Gliedern können wir eine Näherung der Funktion erhalten, die umso genauer wird, je mehr Glieder berücksichtigt werden.
Das Video unten zeigt die Approximation der Funktion sin(x)+e^x über die einzelnen Taylorpolynome bis hin zum 20. Grad und zeigt, welchen Einfluss jedes einzelne Glied der Taylorreihe besitzt.